行列を理解するその②　行列の回転　回転行列

本日は昨日に引き続きCGを理解するにあたって重要な概念である行列についての勉強です。

コンピュータ内では多くのデータをテンソルであらわします。

テンソルとは、多次元配列を意味し、例えば画像データを見てみると、RGBAの四次元であらわされる色チャンネルの集まり（ピクセル）が縦横の配列に並んで一つの画像が構成されています。

このように多次元の配列をテンソルと呼びます。

テンソルの中で0次元配列をスカラー、1次元配列をベクトル、2次元配列を行列と呼びます。

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〇行列の回転

今回は行列の回転についてみていきます。

前回の例を引き続き使用し、画像の回転の例を見ていきます。

ある画像データAを回転させる場合は回転行列を使用して求めることができます。

まずは簡単な例としてAを次のように定義します。

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} \ a & b \\ \ c & d\\ \end{pmatrix}　 \$

回転行列は次のようになります。

$\displaystyle R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \end{pmatrix}　 \$

回転行列に関しては過去の記事を参考にしてください。

redhologerbera.hatenablog.com

これを用いて回転した画像データA'を求めるには次のように計算できます。

$\displaystyle A' = R(\theta) × A \$

行列の乗算を行います。

$\displaystyle A' = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \end{pmatrix} × \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix}\ cos(\theta) ・ a - sin(\theta) ・ c & cos(\theta) ・ b - sin(\theta) ・ d \\ sin(\theta) ・ a - cos(\theta) ・ c & sin(\theta) ・ b - cos(\theta) ・ d \\ \end{pmatrix} \$

これが回転した画像のデータになります。

では、90°画像を回転した例を見てみます。

これによって三角関数部は次のようになります。

$\displaystyle sin(90°) = 1\\ cos(90°) = 0\\ \$

よって先ほどの式に代入すると次のようになります。

$\displaystyle A' = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \end{pmatrix} × \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix}\ 0 ・ a - 1 ・ c & 0 ・ b - 1 ・ d \\ 1 ・ a - 0 ・ c & 1 ・ b - 0 ・ d \\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} -c & -d \\ a & b \\ \end{pmatrix} \\ \$